小而巧的数字压缩算法：zigzag

阅读 facebook 开源的 RPC （ Remote Procedure Call ）框架 thrift 源代码的时候，本来是在阅读框架，却不小心被 zigzag 这个钻石般闪耀的代码吸引。后来去百度搜索 zigzag ，却得到满屏图像相关的一个算法（看来起名字得有特点才行）。既然相关资料很少，而算法又这么有趣，老王就想要不写一篇这个算法的文章，分享给大家。

这个算法的 java 代码放在 thrift 的 org.apache.thrift.protocol.TCompactProtocol 类里，数据传输的时候用做数字的压缩，以减少数据的传输量。

为了写好这篇文章，同时方便大家阅读，老王把这个算法从 thrift 框架中摘离出来，清理了与算法无关的东西，然后用 C 语言重新实现了一遍，在文章末尾会完整的贴出来，大家可以围观。

好了，开始正题，跟老王一起来吧 ~

在聊这个算法之前，我们得先补补课，聊聊进制、补码相关的东东。

1 、进制

这个内容是作为码工挣钱最基础的知识之一。所谓进制，全称是进位制，就是当某一个位上的信息满了，需要往前进位。比如，某一位上的信息只能容纳十个，超过十个就往前进一位，则是逢十进一的十进制；如果逢二进一，则是二进制；等等。进制之间是可以转换的，比如十进制的 10 等于 二进制的 1010, 也等于十六进制的 A ，通常写作： (10) ₁₀ = (1010) ₂ = (A) ₁₆ 。

我之前看一本书就讲现在为什么大家通用的是十进制。一个比较有趣的答案说，因为人类只有 10 个手指头，数数的时候，挨个儿数过去刚好十个数，所以十进制自然而然成为默认的进制。如果人类是 12 个手指头，说不定就是十二进制了。

后来计算机的出现，一个数据的有无是最天然的信息承载单元，所以由 0-1 组成的二进制很天然的成为计算机的进制方式。在此基础上，为方便信息的传递，又采用了八进制、十六进制等进制。

好了，因为大家对进制这个东东其实也是比较了解，我就不多扯了，就先说到这儿。

2 、补码

我们对一个十进制的正整数可以采用相关算法，得到他对应的二进制编码，比如： (10) ₁₀ = (1010) ₂ 。不过，如果我们要表示负整数，怎么办呢？在计算机的世界里，我们就定义了原码、反码和补码这几个东东。

为了描述简单，我们都假设我们的数字用一个字节（ 1Byte=8bits ）来表示。

A 、原码

我们用第一个位表示符号（ 0 为非负数， 1 为负数），剩下的位表示值。比如：

[+8] = [ 0 0001000] _原

[-8] = [ 1 0001000] _原

B 、反码

我们用第一位表示符号（ 0 为非负数， 1 为负数），剩下的位，非负数保持不变，负数按位求反。比如：

[+8] = [ 0 0001000] _原 = [ 0 000 1000] _反

[-8] = [ 1 0001000] _原 = [ 1 111 0111] _反

如果我们用原码或者补码来表示整数的二进制，有什么问题么？表面上看，似乎挺好的。不过仔细思考就会发现两个问题：

第一、 0 居然用两个编码（ +0 和 -0 ）来表示了：

原码： [ 0 000 0000] _原 = [ 1 000 0000] _原

反码： [ 0 000 0000] _反 = [ 1 111 1111] _反

第二、计算机要理解符号位的存在，否则符号位参与运算，就会出现诡异的现象：

原码：

1 + （ -1 ）

= [ 0 0000001] _原 + [ 1 000 0001] _原

= [ 1 0000010] _原

= -2

明显是不对的！

反码：

1 + （ -1 ）

= [ 0 0000001] _反 + [ 1 111 1110] _反

= [ 1 111 1111] _反

= -0

表现的好诡异！

为了解决这些问题，我们在计算机体系中引入了补码。

C 、补码

我们用第一位表示符号（ 0 为非负数， 1 为负数），剩下的位非负数保持不变，负数按位求反末位加一。

[+8] = [ 0 0001000] _原 = [ 0 000 1000] _补

[-8] = [ 1 0001000] _原 = [ 1 111 1000] _反

那我们再看看，把符号放进去做运算会有什么样的效果呢？

1 + （ -1 ）

= [ 0 0000001] _补 + [ 1 111 1111] _补

= [ 0 000 0000] _补

= 0

很明显，通过这样的方式，计算机进行运算的时候，就不用关心符号这个问题，而只需要按照统一的逢二进一的原则进行运算就可以了。

好了，脑补了进制和补码以后，我们就可以进入正题了。

3 、 zigzag

在绝大多数情况下，我们使用到的整数，往往是比较小的。比如，我们会记录一个用户的 id 、一本书的 id 、一个回复的数量等等。在绝大多数系统里面，他们都是一个小整数，就像 1234 、 1024 、 100 等。

而我们在系统之间进行通讯的时候，往往又需要以整型（ int ）或长整型（ long ）为基本的传输类型，他们在大多数系统中，以 4Bytes 和 8Bytes 来表示。这样，为了传输一个整型（ int ） 1 ，我们需要传输 00000000_00000000_00000000_00000001 32 个 bits ，除了一位是有价值的 1 ，其他全是基本无价值的 0 （此处发出一个声音：浪！费！啊！）。

那怎么办呢？牛逼的工程师想出了一个小而有趣的算法： zigzag ！

这个算法具体的思想是怎么样的呢？

对于正整数来讲，如果在传输的时候，我们把多余的 0 去掉（或者是尽可能去掉无意义的 0 ），传输有意义的 1 开始的数据，那我们是不是就可以做到数据的压缩了呢？那怎么样压缩无意义的 0 呢？

答案也很简单，比如： 00000000_00000000_00000000_00000001 这个数字，我们如果能只发送一位 1 或者一个字节 00000001 ，是不是就将压缩很多额外的数据呢？

当然，如果这个世界只有正整数，我们就会很方便的做到这一点。可惜，他居然还有负数！！！负数长什么样呢？ (-1) ₁₀ = (11111111_11111111_11111111_11111111) _补 ，前面全是 1 ，你说怎么弄？！

zigzag 给出了一个很巧的方法：我们之前讲补码讲过，补码的第一位是符号位，他阻碍了我们对于前导 0 的压缩，那么，我们就把这个符号位放到补码的最后，其他位整体前移一位：

(-1) ₁₀

=( 1 1111111_11111111_11111111_11111111) _补

=(11111111_11111111_11111111_1111111 1 ) _符号后移

但是即使这样，也是很难压缩的，因为数字绝对值越小，他所含的前导 1 越多。于是，这个算法就把负数的所有数据位按位求反，符号位保持不变，得到了这样的整数：

(-1) ₁₀

= ( 1 1111111_11111111_11111111_11111111) _补

= (11111111_11111111_11111111_1111111 1 ) _符号后移

= (00000000_00000000_00000000_0000000 1 ) _zigzag

而对于非负整数，同样的将符号位移动到最后，其他位往前挪一位，数据保持不变。

(1) ₁₀

= ( 0 0000000_00000000_00000000_00000001) _补

= (00000000_00000000_00000000_0000001 0 ) _符号后移

= (00000000_00000000_00000000_0000001 0 ) _zigzag

唉，这样一弄，正数、 0 、负数都有同样的表示方法了。我们就可以对小整数进行压缩了，对吧 ~

这两种 case ，合并到一起，就可以写成如下的算法：

整型值转换成 zigzag 值：

int int_to_zigzag( int n)

{

return (n << 1 ) ^ (n >> 31 );

}

n << 1 : 将整个值左移一位，不管正数、 0 、负数他们的最后一位就变成了 0 ；

(1) ₁₀

= ( 0 0000000_00000000_00000000_00000001) _补

左移一位 => (00000000_00000000_00000000_00000010) _补

(-1) ₁₀

= ( 1 1111111_11111111_11111111_11111111) _补

左移一位 => (11111111_11111111_11111111_11111110) _补

n >> 31: 将符号位放到最后一位。如果是非负数，则为全 0 ；如果是负数，就是全 1 。

(1) ₁₀

= ( 0 0000000_00000000_00000000_00000001) _补

右移 31 位 => (00000000_00000000_00000000_0000000 0 ) _补

(-1) ₁₀

= ( 1 1111111_11111111_11111111_11111111) _补

右移 31 位 => (11111111_11111111_11111111_1111111 1 ) _补

最后这一步很巧妙，将两者进行按位异或操作：

(1) ₁₀ =>

(00000000_00000000_00000000_00000010) _补 ^

(00000000_00000000_00000000_0000000 0 ) _补

= (00000000_00000000_00000000_0000001 0 ) _补

可以看到最终结果，数据位保持不变，而符号位也保持不变，只是符号位移动到了最后一位

(-1) ₁₀ =>

(11111111_11111111_11111111_11111110) _补 ^

(11111111_11111111_11111111_1111111 1 ) _补

= (00000000_00000000_00000000_0000000 1 ) _补

可以看到，数据位全部反转了，而符号位保持不变，且移动到了最后一位。

就是这一行代码，就将这个相对复杂的操作做完了，真是写的巧妙。

zigzag 值还原为整型值：

int zigzag_to_int( int n) 

{

return ((( unsigned int )n) >> 1 ) ^ -(n & 1 );

}

类似的，我们还原的代码就反过来写就可以了。不过这里要注意一点，就是右移的时候，需要用不带符号的移动，否则如果第一位数据位是 1 的话，就会补 1 。所以，代码里用了无符号的右移操作： ((( unsigned int )n) >> 1 ) 。在 java 代码里，对应的移位操作： n >>> 1 。

好了，有了算法对数字进行转换以后，我们就得到了有前导 0 的另外一个整数了。不过他还是一个 4 字节 的整数，我们接下来就要考虑怎么样将他们表示成尽可能少的字节数，并且还能还原。

比如：我们将 1 转换成 (00000000_00000000_00000000_0000001 0 ) _zigzag 这个以后，我们最好只需要发送 2bits （ 10 ），或者发送 8bits （ 00000010 ），把前面的 0 全部省掉。因为数据传输是以字节为单位，所以，我们最好保持 8bits 这样的单位。所以我们有几种做法：

A 、我们可以额外增加一个字节，用来表示接下来有效的字节长度，比如： 00000001_00000010, 前 8 位表示接下来有 1 个字节需要传输，第二 8 位表示真正的数据。这种方式虽然能达到我们想要的效果，但是莫名的增加一个字节的额外浪费。有没有不浪费的办法呢？

B 、字节自表示方法。 zigzag 引入了一个方法，就是用字节自己表示自己。具体怎么做呢？我们来看看代码：

int write_to_buffer( int zz, byte* buf, int size)

{

int ret = 0 ;

for ( int i = 0 ; i < size; i++)

{  

if ((zz & (~ 0x7f )) == 0 )

{

buf[i] = (byte)zz;

ret = i + 1 ;

break ;

}

else

{

buf[i] = (byte)((zz & 0x7f ) | 0x80 );

zz = (( unsigned int )zz)>> 7 ;

}

}

return ret;

}

大家先看看代码里那个 (~0x7f) ，他究竟是个什么数呢？

(~0x7f) ₁₆

=( 1 1111111_11111111_11111111_10000000) _补

他就是从倒数第八位开始，高位全为 1 的数。他的作用，就是看除开最后七位后，还有没有信息。

我们把 zigzag 值传递给这个函数，这个函数就将这个值从低位到高位切分成每 7bits 一组，如果高位还有有效信息，则给这 7bits 补上 1 个 bit 的 1 （ 0x80 ）。如此反复 直到全是前导 0 ，便结束算法。

举个例来讲：

(-1000) ₁₀

= ( 1 1111111_11111111_11111100_00011000) _补

= (00000000_00000000_00000111_1100111 1 ) _zigzag

我们先按照七位一组的方式将上面的数字划开：

(0000 - 0000000 - 0000000 - 0001111 - 100111 1 ) _zigzag

A 、他跟 (~0x7f) 做与操作的结果，高位还有信息，所以，我们把低 7 位取出来，并在倒数第八位上补一个 1(0x80) ： 1 1001111

B 、将这个数右移七位： (0000 - 0000000 - 0000000 - 0000000 - 0001111) _zigzag

C 、再取出最后的七位，跟 (~0x7f) 做与操作，发现高位已经没有信息了（全是 0 ），那么我们就将最后 8 位完整的取出来： 00001111 ，并且跳出循环，终止算法；

D 、最终，我们就得到了两个字节的数据 [ 1 1001111, 00001111]

通过上面几步，我们就将一个 4 字节的 zigzag 变换后的数字变成了一个 2 字节的数据。如果我们是网络传输的话，就直接发送这 2 个字节给对方进程。对方进程收到数据后，就可以进行数据的组装还原了。具体的还原操作如下：

int read_from_buffer(byte* buf, int max_size)

{

int ret = 0 ;

int offset = 0 ;

for ( int i = 0 ; i < max_size; i++, offset += 7 )

{

byte n = buf[i];

if ((n & 0x80 ) != 0x80 )

{

ret |= (n <<offset);

break ;

}

else

{

ret |= ((n & 0x7f ) << offset);

}

}

return ret;

}

整个过程就和压缩的时候是逆向的：对于每一个字节，先看最高一位是否有 1(0x80) 。如果有，就说明不是最后一个数据字节包，那取这个字节的最后七位进行拼装。否则，说明就是已经到了最后一个字节了，那直接拼装后，跳出循环，算法结束。最终得到 4 字节的整数。

4 、总结

好了，整个算法就是差不多几十行，我们却用了几千字来描述他，这就是这个算法精妙的地方。

这个算法使用的基础就是认为在大多数情况下，我们使用的数字都是不大的数字，比如： book_id 、 comment_count 等这种从几到几千数值的东东。那我们也能通过计算，得到每超过一个 7 位的信息以后，传输的字节数就会增加 1 。以至于，如果数字比较大的时候，原来 4 字节的数字还会变成 5 字节：

不过，在绝大多数情况下，小整数还是占主导的，所以整个算法才有了使用的基础。

好了，不知道老王有没有把这个算法讲清楚。如果没讲清楚，就来看代码吧（ Talk is cheap, Show me the code ）。

（注：这个代码是老王自己改写的，自己 review 了，貌似没有错误。如果大家觉得写的有问题，请指正。）

如果觉得 c 语言代码看起来不是很舒服，也可以去看 thrift 中 java 的源代码 ~

那这一期就聊到这里吧，如果你对老王聊的东西感兴趣，就关注老王的微信： simplemain ， 更多精彩内容还在后面等着你哦 ^_^