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凝聚态中的拓扑（四）：从TKNN到Z2拓扑绝缘体

本系列文章的前三篇介绍了本年度诺贝尔物理学奖的主要获奖工作，在接下来的几篇文章里，我们将继续介绍在拓扑物质态领域近年来的飞速进展。一些朋友反映文章写得不够通俗易懂，甚至出现了数学公式这样可怕的东东，在这里我（本文作者）向大家致歉，不过本系列文章的本意是想尝试一点深度科普，或者说是“ 硬核科普 ”，因此不想停留在面包圈和橘子的程度。

文/戴希（物理所）

言归正传。TKNN的经典论文发现了TKNN不变量即陈数，利用这一整数，可以对所有的二维绝缘体态进行分类。但是在TKNN那个年代，80年代，人们只是在二维电子气在强磁场下形成的量子霍尔效应系统－这一人造体系中实现了具有非零陈数的物质态。那么能不能在天然晶体材料中发现类似的拓扑非平庸物质态呢？这是一个很自然的问题，而为了回答这个问题，科学家们又付出了20多年的努力。想要在天然晶体中找到与量子霍尔效应体系类似的拓扑材料，首先要确定搜索的方向。如果这个新的拓扑材料是用陈数来刻画的，那么它必须满足两个条件 ，1）必须是二维材料；2）必须破坏时间反演对称。 第一个条件很显然，因为根据我们上篇文章的介绍，陈数本身就是定义在二维体系中的。第二个条件需要进一步解释一下，事实上对凝聚态物质中时间反演对称的思考和研究，直接导致了拓扑绝缘体的发现。那么时间反演对称是怎么回事呢？我们说体系在具有某种对称，是指它在相应的对称操作下保持不变，比如镜面对称，就是指系统在镜面反射之后还保持原来的模样。对于现代物理学来说，对称性是个太重要的概念，在凝聚态体系中各种空间对称已经被研究得很透彻，但对时间反演对称却尚有很大的研究空间。简单地说，时间反演就是时间箭头反向，向前运动的粒子掉头往后，原来往后运动的粒子转而向前。除了粒子平动自由度以外，内禀转动自由度也要反向，原来顺时针转的变为逆时针，逆时针转的变为顺时针，导致的后果就是粒子自旋方向的翻转。数学上很容易证明，就像单个粒子的平动和自旋运动，在时间反演操作下二维绝缘体的陈数必须反号，那么对于任何晶体材料，只要具有时间反演对称，其陈数就必须为零。换而言之，具有非零陈数的晶体材料，只能在破缺时间反演对称，也就是具有自发磁性的系统中去找，而绝大多数天然晶体材料是没有磁性的，难道在这些材料中就不会有拓扑非平庸的电子结构吗？能否找到陈数以外的拓扑不变量来刻画具有时间反演对称的绝缘体系统呢？答案是肯定的，近年来这方面的重大突破就是拓扑绝缘体理论。根据这一理论，可以把具有时间反演对称的绝缘体系统，分为拓扑绝缘体和普通绝缘体两类，而用来刻画其拓扑特性的不变量就叫做Z2拓扑不变量。

在介绍Z2拓扑不变量的数学形式之前，让我们首先来回顾一下历史。在保持时间反演不变的体系中寻找拓扑物态的早期尝试，是基于一种非常朴素的想法，既然时间反演操作下绝缘体系统的陈数会变号，那么假设有这样一类体系，它们的电子态由两个互为时间反演态，并且相互之间无耦合的子系统组成，我们不妨分别记为A和B，由于时间反演对称，两个子系统的总陈数为零，但它们各自的陈数可以不等于零，而是符号相反的两个整数，比如（1，－1）或者（2，－2），这样我们就可以得到一个陈数分类的简单推广，由于对固体电子态而言，最自然的两套子系统，就是电子的两个自旋指向，向上或者向下，于是这种“ 半个系统”的陈数就被叫做“spin Chern number”，自旋陈数，比如刚才提到的（1，－1）系统，其自旋陈数就等于1。并且 当自旋陈数不等于零时，系统就相应地具有自旋霍尔效应 。2005年宾州大学的Kane／Mele和斯坦福大学的Bernevig／张首晟分别基于石墨烯和特殊应力场下的半导体量子阱，几乎同时提出了这种可以用自旋陈数来描述的自旋霍尔效应体系。然而用自旋陈数来描述电子态的拓扑特性有一个非常重要的前提条件，就是上下自旋的电子态是完全相互独立的，不存在耦合效应，而这一条件在实际材料中是很难实现的，因为自旋轨道耦合效应是普遍存在的。然而他们很快发现，在进一步考虑了自旋轨道耦合效应以后，原先自旋陈数等于1，3，5等奇数的系统彼此在拓扑上等价，同时原先自旋陈数等于0，2，4等偶数的系统也在拓扑上等价，当然这里还必须满足一个条件，就是加上自旋轨道耦合的过程不能关闭绝缘体的能隙，这样才能 保持拓扑学要求的“连续形变 ”。这样， 具有时间反演不变的二维绝缘体就可以分为奇偶两类 ，数学上叫做Z2分类，其中奇数类具有被时间反演对称保护的狄拉克型边缘态，而偶数类则没有这种受保护的边缘态。在2005年Kane／Mele的文章中，他们还推导出了这个Z2拓扑不变量具体表达式，从而把TKNN开创的研究领域推进到了新的高度。2006年Bernevig，Hughes和张首晟提出了实验上有可能真正实现的二维拓扑绝缘体系统－HgTe／CdTe量子阱，次年德国维尔兹堡大学的Molenkamp小组在该体系中第一次观测到了量子自旋霍尔效应的迹象。此后，傅亮和Kane等人把拓扑绝缘体的概念推广到了三维体系，2009年我和方忠领导的小组和张首晟小组合作，通过计算提出了目前影响最大的三维拓扑绝缘体材料，Bi2Se3家族，也对这个领域的研究做出了自己的贡献。2011年我和祁晓亮、Bernevig等人，利用Wilson loop方法把Kane／Mele提出的Z2拓扑不变量写成了更直观的形式，并且可以统一描述系统的陈数和Z2不变量，下面向大家简要地介绍一下。

跟计算陈数的时候一样，首先我们也还是要把二维布里渊区划分成一条条的平行线，如图一所示。

图一

与破坏了时间反演对称的绝缘体不同的是，当具有时间反演对称时，最简单的绝缘体系统将至少具有两条占据能带，这是电子自旋自由度的体现。于是当我们仿照上篇文章的做法构建Wilson loop时，我们发现相邻k点的波函数内积不再是一个复数而是一个2*2的矩阵，同样我们可以把这些矩阵按照次序乘起来，

其中矩阵元

注意通过这样的Wilson loop 得到的矩阵凝聚态中的拓扑（四）：从TKNN到Z2拓扑绝缘体不再只是U(1)规范不变，而是U(2)规范不变，它可以分解成U(1)部分和SU(2)部分

其中U(1)部分z就是矩阵凝聚态中的拓扑（四）：从TKNN到Z2拓扑绝缘体的行列式，是一个复数，而这个复数的相位角随ky的演化则得到系统的陈数，请参看本系列文章之二。剩下的是一个行列式为1的幺正矩阵，Z2拓扑不变量就藏在这个矩阵的本征值里。2*2幺正矩阵凝聚态中的拓扑（四）：从TKNN到Z2拓扑绝缘体的本征值是两个模为1且互相共轭的复数对，我们可以提取出它们的相位，记为（注意，又是相位！）并且考察它们随着ky的演化。由于系统具有时间反演对称，这两个相位的演化必须满足下面两个条件， 1）只有一半的演化过程是独立的，如ky＝0到π，而另一半（－π到0）只是前一半的简单重复；2）在ky＝0和π处，相应的Wilson loop在时间反演操作下是不变的，因此上面提到的两个相位凝聚态中的拓扑（四）：从TKNN到Z2拓扑绝缘体 必须相等，且满足 (共轭性的要求)。 因此在ky＝0到π处，它们或者都等于0，或者都等于π，（π等价于－π，又是相位紧致性的体现！）。于是当我们考察ky＝0到π的演化过程时，相位凝聚态中的拓扑（四）：从TKNN到Z2拓扑绝缘体 的演化曲线有两种拓扑上不等价的构型 ，分别如图（二）a和b所示。

其中a图的两条演化线从0开始，最后一起回到0，而在b图中，则是一起从0开始，最后分别演化成π和－π。由于二维布里渊区的紧致性，上述演化实际上是在一个开放的柱面上进行的，理解了这一点就不难弄清楚（a）和（b）之间的本质不同，在不改变两端取值（时间反演对称的要求）的情况下，通过在柱面上的连续变形，永远不可能将（a）图的演化线变化成（b）图。（b）图的情况实际上是两条演化线合起来在柱面上绕了一圈，所以它跟没有绕圈的（a）图在拓扑上是不等价的。下一个问题是， 这样不等价的构型一共有多少个呢？ 能不能有绕两圈，三圈的情况呢？拓扑绝缘体理论给出的回答是，在没有额外对称性的情况下，绕两圈等价于零圈，而三圈等价于一圈。这一点可以通过图三（a）和（b）看出来，如果两条演化线绕柱面两圈（如图三（a）），它们必须在中间交叉一次，由于除了时间反演以外没有其他晶体对称，两条演化线之间总可以存在有限的耦合，从而把交叉点劈裂开，如图三（a）所示，于是两圈就等价于零圈了。同理，如图三（b）所示，三圈也等价于一圈。

的相位角演化只有两种拓扑上不等价的构型，分别环绕布里渊区柱面奇数和偶数圈，前者对应拓扑绝缘体而后者则对应普通绝缘体。与陈数分类不同，这种分类在数学上是奇偶类而非整数类，因此称为Z2拓扑不变量。

具有时间反演不变的二维拓扑绝缘体可以按照Z2不变量分类，从本质上讲，起源于对绝缘体电子态“连续变形”所施加的限制。在不施加任何限制的情况下，二维绝缘体只能按照陈数来分类，而如果限制电子态连续变形过程不能破坏时间反演对称，则二维绝缘体又可以分为Z2不变量为奇或偶两类，虽然它们的陈数都等于零。按照这个思路，考虑越来越多的对称性，如空间反演、镜面反射，旋转对称等，系统电子态的拓扑构型也将越来越丰富，受此启发科学家们此后又提出了拓扑晶体绝缘体等概念。 2012年陈协，顾正澄，刘正鑫和文小刚总结了前面的工作，用群论方法对固体中受对称性保护的各种拓扑态进行了分类研究，提出了SPT的概念（symmetry protected topological phase），又把这方面的研究推进了一大步。目前对凝聚态中各种SPT态的研究，是物理学领域内最活跃的研究热点之一，我们也将在后续文章中加以介绍。

原文 https://zhuanlan.zhihu.com/p/23828586

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