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神经网络模型随机梯度下降法—简单实现与Torch应用

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本文以及后续关于 Torch 应用及机器学习相关的笔记文章，均基于牛津大学2015机器学习课程，课件和视频可从官网下载。本文主要关于神经网络模型中的随机梯度下降法，介绍其原理及推导过程，并比较 Python 简单实现和 Torch 的应用。对应课件为 L2-Linear-prediction.ipynb 。

梯度下降法（gradient descent）

为了确定神经网络模型中参数（权值）的好坏，需要先指定一个衡量标准（训练误差，损失函数，目标函数），例如以均方差（Mean Square Error, MSE）公式作为损失函数：

$$J(/mathbf{/theta}) = MSE = /frac{1}{n} /sum_{i = 1}^n(/widehat{/mathbf{Y_i}} - /mathbf{Y_i})^2$$

其中，$/widehat{y_i} = /sum_{j = 1}^d x_{ij}/theta_j$，矩阵表示法为$/widehat{/mathbf{Y}} = /mathbf{X}/theta$，为线性模型（神经网络）拟合结果。

模型最优化实际上是最小化损失函数的过程，梯度下降法的原理是：

若函数 $F(x)$ 在点 $a$ 可微且有定义，则 $F(x)$ 在 $a$ 点沿着梯度相反方向 $-/nabla F(a)$ 下降最快。梯度下降法 - 维基百科

损失函数 $J$ 对于权重向量 $/mathbf{/theta}$ 的梯度（gradient）：

$$/nabla J(/mathbf{/theta}) = [/frac{/partial J}{/partial /theta_0}, /frac{/partial J}{/partial /theta_1}, ..., /frac{/partial J}{/partial /theta_n}]$$

则根据梯度下降法则，参数的变化应根据：

$$/Delta /theta_i = -/alpha/frac{/partial J}{/partial /theta_i}$$

其中 $/alpha$ 为学习速率（Learning Rate）。由此可得梯度下降算法如下：

GD(training_examples, alpha)
- training_examples 是训练集合，$/lt /vec{inputs}, output /gt$
- 初始化每个权值 $/theta_i$ 为随机值
- 终止条件前，迭代：
  - 初始化权值的变化梯度 $/Delta/theta_i = 0$
  - 对每条训练数据：
    - 根据 $/vec{input}$ 计算模型输出为 o
    - 对每个权值梯度 $/Delta /theta_i$：
    - $/Delta /theta_i = /Delta /theta_i + /alpha (output - o) * x_i$ ~>(A
  - 对每个权值 $/theta_i$：
    - $/theta_i = /theta_i + /Delta /theta_i$ ~>(B

根据算法描述可以简单实现（完整代码）：

def GD(training/_examples, alpha):       # init thetas     thetas = np.random.rand(NPAMATERS)     for i in range(LOOPS):         deltas = np.zeros(NPAMATERS)         for record in training/_examples:             inputs = [1] + list(record[1:])             output = record[0]             o = NN(inputs, thetas)             for j in range(NPAMATERS):                 # -- Step (A                 deltas[j] = deltas[j] + alpha /* (output - o) /* inputs[j]         for j in range(NPAMATERS):             # -- Step (B             thetas[j] = thetas[j] + deltas[j]     return thetas thetas = GD(training/_examples, 0.00001)   test(thetas, training/_examples)   """ #No    Target  Prediction 0    40  20.55   1    44  37.96   2    46  44.42   3    48  48.66   4    52  52.89   5    58  54.89   6    60  67.83   7    68  63.13   8    74  69.59   9    80  89.00   """

梯度下降法中计算 $/Delta /theta_i$ 时汇总了所有训练样本数据的误差，在实践过程中可能出现以下问题：

收敛过慢
可能停留在局部最小值

需要注意的是，学习速率的选择很重要，$/alpha$ 越小相当于沿梯度下降的步子越小。很显然，步子越小，到达最低点所需要迭代的次数就越多，或者说收敛越慢；但步子太大，又容易错过最低点，走向发散的高地。在我写的这一个简单实现的测试中，取 $/alpha = 1e-3$ 时导致无法收敛，而取 $/alpha = 1e-5$ 时可收敛，但下降速度肯定更慢。

常见的改进方案是随机梯度下降法（stochatic gradient descent procedure, SGD）,SGD 的原理是根据每个单独的训练样本的误差对权值进行更新，针对上面的算法描述，删除 $(B$，将$(A$ 更新为：

$$/theta_i = /theta_i + /alpha (output - o) * x_i$$

代码如下：

def SGD(training/_examples, alpha):       # init thetas     thetas = np.random.rand(NPAMATERS)     for i in range(LOOPS):         for record in training/_examples:             inputs = [1] + list(record[1:])             output = record[0]             o = NN(inputs, thetas)             for j in range(NPAMATERS):                 thetas[j] = thetas[j] + alpha /* (output - o) /* inputs[j]     return thetas thetas = SGD(training/_examples, 0.001)   test(thetas, training/_examples)   """ #No    Target  Prediction 0    40  41.45   1    44  42.71   2    46  44.82   3    48  48.42   4    52  52.02   5    58  57.11   6    60  61.34   7    68  70.88   8    74  72.99   9    80  79.33   """

可以看出，SGD 可以用较大的 $/alpha$ 获得较好的优化结果。

Torch的应用

清楚了 SGD 的原理后，再来应用 Torch 框架完成上上述过程，其中神经网络模型的框架由 torch/nn 提供。

require 'torch'   require 'optim'   require 'nn'  model = nn.Sequential()                 -- 定义容器   ninputs = 2; noutputs = 1   model:add(nn.Linear(ninputs, noutputs)) -- 向容器中添加一个组块（层），本例中只有一个组块。  criterion = nn.MSECriterion()  -- 获取初始化参数 x, dl_dx = model:getParameters()   -- print(help(model.getParameters)) --[[ [flatParameters, flatGradParameters] getParameters()   返回两组参数，flatParameters 学习参数（flattened learnable parameters）；flatGradParameters 梯度参数（gradients of the energy   wrt）   ]]--  feval = function(x_new)     -- 用于SGD求值函数   -- 输入：设定权值   -- 输出：损失函数在该训练样本点上的损失 loss_x，   --       损失函数在该训练样本点上的梯度值 dl_dx   if x ~= x_new then     x:copy(x_new)   end   -- 每次调用 feval 都选择新的训练样本   _nidx_ = (_nidx_ or 0) + 1   if _nidx_ > (#data)[1] then _nidx_ = 1 end    local sample = data[_nidx_]   local target = sample[{ {1} }]   local inputs = sample[{ {2, 3} }]   dl_dx:zero() -- 每次训练新样本时都重置dl_dx为0    local loss_x = criterion:forward(model:forward(inputs), target))   -- print(help(model.forward))   --[[   [output] forward(input)     接收 input 作为参数，返回经该模型计算得到的 output，调用 forward() 方法后，模型的 output 状态更新。   ]]--   -- print(help(criterion.forward))   --[[   [output] forward(input, target)     给定 input 和（要拟合的）目标 target，根据损失函数公式求出损失值。     状态变量 self.output 会更新。   --]]   model:backward(inputs, criterion:backward(model.output, target))   -- print(help(criterion.backward))   --[[   [gradInput] backward(input, target)     给定 input 和（要拟合的）目标 target，根据损失函数公式求出梯度值。     状态变量 self.gradInput 会更新。   --]]   -- @ https://github.com/torch/nn/blob/948ac6a26cc6c2812e04718911bca9a4b641020e/doc/module.md#nn.Module.backward   --[[   [gradInput] backward(input, gradOutput)     调用下面两个函数：       1. updateGradInput(input, gradOutput)       2. accGradParameters(input, gradOutput, scale)   --]]   return loss_x, dl_dx end   -- 设置 SGD 算法所需参数 sgd_params = {     learningRate = 1e-3,   learningRateDecay = 1e-4,   weightDecay = 0,   momentum = 0 }  for i = 1, 1e4 do     for i = 1, (#data)[1] do     -- optim.sgd@https://github.com/torch/optim/blob/master/sgd.lua     _, fs = optim.sgd(feval, x, sgd_params)   end end  -- Test test = {40.32, 42.92, 45.33, 48.85, 52.37, 57, 61.82, 69.78, 72.19, 79.42}   print('id/tapprox/ttext')   for i = 1, (#data)[1] do       local myPrediction = model:forward(data[i][{{2,3}}])     print(string.format("%2d/t%.2f/t%.2f", i, myPrediction[1], test[i])) end   --[[ id    approx  text    1    40.10   40.32     2    42.77   42.92     3    45.22   45.33     4    48.78   48.85     5    52.34   52.37     6    57.02   57.00     7    61.92   61.82     8    69.95   69.78     9    72.40   72.19    10    79.74   79.42   --]]