化繁为简，一张图看懂梯度、散度、旋度、Jacobian、Hessian和Laplacian
加入极市专业CV交流群，与 1 0000+来自港科大、北大、清华、中科院、CMU、腾讯、百度 等名校名企视觉开发者互动交流！
同时提供每月大咖直播分享、真实项目需求对接、干货资讯汇总，行业技术交流。关注 极市平台 公众号 ， 回复 加群， 立刻申请入群~
来源｜王赟 Maigo@知乎，https://zhuanlan.zhihu.com/p/35323714
本文仅作学术分享，如有侵权，请联系后台作删文处理。
一、入门
图中的细实线箭头表示了四种一阶微分运算，包括梯度、散度、旋度和 Jacobian。每条箭头的起点表示了相应运算的自变量的类型，终点表示了相应运算的因变量的类型，例如梯度运算是作用在标量上的，结果是向量。图中的「向量」默认为列向量。
这四种一阶微分运算可以统一用算符（读作 nabla）表示。Nabla 算符是一个形式向量 ，它可以如下地作用于标量 或向量 上：
-
直接与标量 相乘，得到 的梯度 。
-
与向量 点乘，得到 的散度 。本文把点乘用矩阵乘法的形式写作 。
-
与向量 叉乘，得到 的旋度 。
-
若允许偏导算符写在变量的右边，则 就可以表示 的 Jacobian。
图中的粗实线箭头表示了两种二阶微分运算，它们可以由两个一阶微分运算组合而成，即：
-
梯度的散度就是 Laplacian；
-
梯度的 Jacobian 就是 Hessian。
图中的虚线箭头表示了一种不涉及微分的运算（迹）。在微分运算之后接上「迹」运算，可能得到另一种微分运算，如：
-
Jacobian 的迹就是散度；
-
Hessian 的迹就是 Laplacian。
二、入迷
图中的四种一阶微分运算两两搭配，一共可以得到 7 种二阶微分运算。第一节的图中画出了两种，本节的图中画出了另外五种（浅蓝色与灰色）。这五种二阶微分运算并没有特别的名字，但其中有两种是恒等于 0 的：
-
梯度的旋度恒为零向量；
-
旋度的散度恒为 0。
其中，「梯度无旋」可以用下面的图形象说明（图片来自@得分的）：
如果梯度有旋会怎么样？
三、入魔
Laplacian 是一个作用于标量的二阶微分运算，其结果也是标量。但我们也可以把它作用于一个向量的每一个元素，得到一个向量；这种运算称为向量 Laplacian。
Laplacian 运算作用于标量上的结果可以用 nabla 算符写成 。这种写法无法直接推广到向量 Laplacian，因为 里 无法直接跟 做矩阵乘法。但如果允许偏导算符写在变量右边，那就可以把向量 Laplacian 表示成 。这是 Jacobian 运算与「矩阵右乘 」运算的复合；后者的效果是对矩阵的每一行求散度。图中恰好有一个为「逐行散度」运算准备的空位，我们把它补充到图中。
向量 Laplacian 的结果，恰好等于「散度的梯度」与「旋度的旋度」之差。为了体现出这种关系，我把「从向量到向量」的三种二阶微分运算改用橙红色箭头表示。
四、入土
既然引入了「逐行散度」这个一阶微分运算，那就索性把它能组合出来的二阶微分运算也全都放到图里去吧！这样就得到了一个完美对称的图，它包含了 11 种二阶微分运算，其中：
-
有两种比较常见：Laplacian 和 Hessian；
-
有两种恒等于零：「梯度的旋度」和「旋度的散度」；
-
有三种满足减法关系：向量 Laplacian = 散度的梯度 - 旋度的旋度；
-
剩下的四种没有专门的名字，也很罕见。
其中任何一种微分运算后面接上「迹」，都可以得到另一种同阶微分运算：
-
Jacobian 的迹就是散度；
-
Hessian 的迹就是 Laplacian；
-
旋度的 Jacobian 的迹就是旋度的散度，恒等于 0；
-
矩阵逐行散度的 Jacobian 的迹，就是它的逐行散度的散度。
但需要注意只能在运算之后接上「迹」，在运算之前接「迹」是不行的，比如矩阵的迹的梯度不等于它的逐行散度。
如果有读者知道图中几种没有名字的运算叫什么名字、有什么用途，或者在图中内容之外还有什么值得包括进来的微分运算，欢迎补充。
推荐阅读
-
梯度下降的可视化解释(Adam，AdaGrad，Momentum，RMSProp)
-
交叉熵、相对熵（KL散度）、JS散度和Wasserstein距离（推土机距离）
-
最全的损失函数汇总
添加极市小助手微信 （ID : cv-mart） ，备注： 研究方向-姓名-学校/公司-城市 （如：目标检测-小极-北大-深圳），即可申请加入 极市技术交流群 ，更有 每月大咖直播分享、真实项目需求对接、求职内推、算法竞赛、 干货资讯汇总、行业技术交流 ， 一起来让思想之光照的更远吧~
△长按添加极市小助手
△长按关注极市平台，获取 最新CV干货
觉得有用麻烦给个在看啦~
正文到此结束
热门推荐
相关文章
Loading...
![[HBLOG]公众号](http://www.liuhaihua.cn/img/qrcode_gzh.jpg)
